Едно мое недоглеждане и начин за поправянето му
Димитър Скордев

    Бях един от съставителите на книгата „Ярослав Тагамлицки – учен и учител“, издадена от „Наука и изкуство“, София, през 1986 г. Друг от съставителите, Иван Проданов, незадълго до внезапната си смърт на 24 април 1985 г. беше дал за книгата своя статия под заглавие „Една бележка за непубликуваните изследвания на Я. Тагамлицки върху метода на екстремните елементи“. Статията беше посветена на една теорема на Тагамлицки, останала непубликувана, за която Проданов пише: „Това е великолепен логически анализ на теоремата на Крейн и Милман, който дава най-простото от известните й доказателства. Същевременно тази теорема е по-обща от теоремата на Крейн и Милман и възможностите за приложенията й, изглежда, не са изследвани.“

    Въпросната теорема на Тагамлицки се отнася за тъй наречени топологични изпъкнали пространства. Това са топологични пространства, в които на всеки два елемента a и b на пространството е съпоставено негово подмножество ab така, че да бъдат изпълнени определени изисквания. Във всяко топологично изпъкнало пространство се дефинират понятие изпъкнало подмножество, една релация на еквивалентност между елементи на пространството и понятие екстремен елемент на дадено подмножество. Теоремата, за която става дума, гласи, че при едно допълнително условие всяко отворено изпъкнало множество, което съдържа екстремните елементи на дадено компактно подмножество C на пространството, съдържа и цялото C.

    В ръкописа на Проданов споменатото по-горе допълнително условие изискваше следното: винаги, когато два елемента a и b на пространството са такива, че a принадлежи на множеството ab, тези два елемента са еквивалентни. Преглеждайки ръкописа на статията преди предаването на книгата за печат, аз се затрудних при провеждането на една индукция в изложеното доказателство на теоремата. Нямайки на разположение формулировката и доказателството на теоремата във вида им, даден от Тагамлицки, не намерих друг изход освен да усиля допълнителното условие, формулирано в ръкописа, и да съобщя в бележка под линия за направената от мене промяна. Усилената форма на условието, която дадох, изисква винаги, когато два елемента a и b на пространството са такива, че a е еквивалентен на някой елемент на множеството ab, елементите a и b да бъдат еквивалентни. С такова изменение се появи статията на Проданов на страници 144–149 в отпечатаната книга (формулировката на теоремата е на стр. 147).

    През декември 2007 г. г-н Манол Илиев забеляза една друга възможност за усилване на допълнителното условие, а именно то да се замени със следното: винаги, когато два елемента a и b на пространството са такива, че a принадлежи на множеството ab, тези два елемента са равни (т.е. в условието от ръкописа на Проданов вместо за еквивалентност да става дума за равенство). При такава версия на условието индукцията, за която стана дума, протича даже по-лесно, а ред 4 отг. на стр. 148 става излишен заедно с фигуриращото в края на предходния ред „b“. По повод на това хубаво досешане на г-н Илиев прочетох отново статията на Проданов и с голямо огорчение забелязах, че на времето съм усилил формулираното в ръкописа предположение на теоремата, без да проверя дали така усиленото предположение е изпълнено във всеки пример от вида, посочен в края на статията (страници 148–149 на книгата). При това положение първото изречение на стр. 149 (започващо с думите „Непосредствено се съобразява, че“) е станало неуместно, защото дори и да се окаже вярно това, което е след думата „че“, установяването на верността му не би било ни най-малко непосредствено.

    За щастие допълнителното условие, усилено по начина, който предложи г-н Манол Илиев, е изпълнено за споменатите примери. Като работим с тази версия на условието, става излишна стъпката на стр. 149, ред 5 отг., при която от наличието на равенство се прави заключение за еквивалентност. Съжалявам, че преди предаването на книгата за печат не съм забелязал възникващия при моята версия на условието проблем и не съм се сетил за версията, предложена от г-н Илиев.

    Забележка 1. Бихме могли да осигурим верността на заключението на теоремата, като запазим без изменение допълнителното условие от ръкописа, но добавим още и следното изискване: винаги, когато три елемента a, b и c на пространството са такива, че a принадлежи на множеството ac, а c принадлежи на множеството ab, елементът a също принадлежи на множеството ab. Това изискване очевидно е изпълнено в случаите, когато е налице допълнителното условие във вида, предложен от г-н Манол Илиев, и следователно е изпълнено за примерите в края на статията. Едно по-силно изискване, което (записано като включване на a2b в ab) се предполага в някои резултати на Тагамлицки, е следното: за всеки два елемента a и b на пространството и всеки елемент c на множеството ab това множество съдържа множеството ac. Добавянето му като предположение на теоремата би опростило доста нейното доказателството, тъй като тогава множеството U1, дефинирано на стр. 147, ред 9 отд., би се редуцирало до обединение на U0 и bU0.

    Забележка 2. Не ми е известно дали теоремата не е вярна и точно във вида й от ръкописа на Проданов. Като имам пред вид изключителната интуиция, която притежаваха Тагамлицки и Проданов, не изключвам възможността да е било налице вярно доказателство на теоремата в нейния вид от ръкописа, но то да не е било записано добре. Заслужава си да се потърси такова доказателство или контрапример.
 

Последно изменение на тази страница: 24 януари 2008 г.
www.000webhost.com